题目内容
【题目】设直线l过点P(0,3),和椭圆 交于A、B两点(A在B上方),试求
的取值范围 .
【答案】[ )
【解析】解:当直线l的斜率不存在时,A点坐标为(0,2),B点坐标为(0,﹣2),这时 =
.
当直线l斜率为k时,直线l方程为y=kx+3,
设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),则向量AP=(﹣x1,3﹣y1),向量PB=(x2,y2﹣3),
所以 =
,
因为直线y=kx+3与椭圆有两个交点,且它们的横坐标不同,
把y=kx+3代入 后的一元二次方程(9k2+4)x2+54k+45=0的判别式(54k)2﹣4(9k2+4)×45>0,
所以k> 或k<﹣
,
设 =λ,则x1=λx2,
因为x1+x2=﹣ ,x1x2=
,
所以(1+λ)x2═﹣ ,(1)
λx22= ,(2)
显然λ不等于1,解得0<λ<1.
综上所述 的范围是[
).
所以答案是:[ ).
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