题目内容
9.如图所示,已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2,点M是侧棱PC的中点.(1)求证:BC⊥平面BDP;
(2)若tan∠PCD=$\frac{1}{2}$,求三棱锥M-BDP的体积.
分析 (1)由AB⊥AD,AB=AD=2,可得BD=2$\sqrt{2}$,又AD=2,CD=4,AB=2,可得BC=2$\sqrt{2}$,利用勾股定理的逆定理可得BD⊥BC.由PD⊥平面ABCD,利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BC.利用线面垂直的判定定理即可证明.
(2)如图,过M作MG⊥DC交DC于点G.由PD⊥DC,M是PC中点,知MG是△DCP的中位线,又PD⊥平面ABCD,可得MG⊥平面BDC.又tan∠PCD=$\frac{1}{2}$,得PD=2,MG=$\frac{1}{2}$PD=1.利用VM-BDP=VP-BCD-VM-BCD,即可得出.
解答 (1)证明:∵AB⊥AD,AB=AD=2,
∴BD=$\sqrt{2}AB$=2$\sqrt{2}$,
又AD=2,CD=4,AB=2,
则BC=2$\sqrt{2}$,
∴BD2+BC2=16=DC2,∴BD⊥BC.
∵PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
∴PD⊥BC.
又BD∩PD=D,∴BC⊥平面BDP.
(2)解:如图,过M作MG⊥DC交DC于点G.
由PD⊥DC,M是PC中点,知MG是△DCP的中位线,
∴MG∥PD,MG=$\frac{1}{2}$PD,
又PD⊥平面ABCD,
∴MG⊥平面BDC.
又tan∠PCD=$\frac{1}{2}$,得PD=2,MG=$\frac{1}{2}$PD=1.
∴VM-BDP=VP-BCD-VM-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×2-$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$×1=$\frac{4}{3}$.
点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
p1:复数z对应的点在第二象限,
p2:z2=2i,
p3:z的共轭复数为1+i,
p4:z的虚部为-1.
其中真命题为( )
A. | p2,p3 | B. | p1,p2 | C. | p2,p4 | D. | p3,p4 |