题目内容

14.已知函数f(x)=2cos$\frac{x}{2}$($\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$),在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c且f(C)=$\sqrt{3}$+1.
(1)求∠C的大小;
(2)若c=2,且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$,求cos2A+cos2B的值.

分析 (1)运用解析式得出cos(C$+\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,即可求解C=$\frac{π}{6}$,
(2)利用面积公式和余弦定理得出$\left\{\begin{array}{l}{ab=8\sqrt{3}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{3}ab=4}\end{array}\right.$解出a,b的值,再运用正弦定理得出sinB,sinA,最后运用三角公式求解即可.

解答 解:函数f(x)=2cos$\frac{x}{2}$($\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$)=2$\sqrt{3}$cos2($\frac{x}{2}$)-sinx=2cos(x+$\frac{π}{6}$)$+\sqrt{3}$,
(1)∵在△ABC中f(C)=$\sqrt{3}$+1.
∴cos(C$+\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,C=$\frac{π}{6}$,
(2)∵C=$\frac{π}{6}$,c=2,∴c2=a2+b2$-2ab×\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{ab}{2}$sinC=2$\sqrt{3}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=8\sqrt{3}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{3}ab=4}\end{array}\right.$解得a=4,b=2$\sqrt{3}$或a=2$\sqrt{3}$,b=4,
$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R,
∴R=2,a=4,b=2$\sqrt{3}$,sinA=1,sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或a=2$\sqrt{3}$,b=4,sinB=1,sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴cos2A+cos2B=2-2(sin2A+sin2B)=2-2(1+$\frac{3}{4}$)=2-2×$\frac{7}{4}$=$-\frac{3}{2}$,另一种情况,计算得cos2A+cos2B=$\frac{9}{2}$>2,舍弃.
故cos2A+cos2B=$-\frac{3}{2}$.

点评 此题考查了正弦定理,二倍角的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间基本关系的运用,正弦函数的定义域与值域,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键

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