题目内容
1.已知函数f(x)=2cos(ωx+$\frac{π}{6}$)(ω>0)满足f($\frac{8π}{3}$)=f($\frac{14π}{3}$),且在区间($\frac{8π}{3},\frac{14π}{3}$)内有最大值但没有最小值,给出下列四个命题:p1:f(x)在区间[0,2π]上单调递减;
p2:f(x)的最小正周期是4π;
p3:f(x)的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称;
p4:f(x)的图象关于点(-$\frac{4π}{3}$,0)对称.
其中的真命题是p2、p4.
分析 根据f($\frac{8π}{3}$)=f($\frac{14π}{3}$),可得f(x)的图象关于直线x=$\frac{11π}{3}$对称,求得φ=$\frac{6}{11}$k-$\frac{1}{22}$,k∈z.根据f(x)在区间($\frac{8π}{3}$,$\frac{14π}{3}$)内有最大值但没有最小值,求得0<ω<1.综合可得,k=$\frac{1}{2}$,f(x)=2cos($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$).再逐一判断各个选项是否正确,从而得出结论.
解答 解:根据f($\frac{8π}{3}$)=f($\frac{14π}{3}$),可得f(x)=2cos(ωx+$\frac{π}{6}$)的图象关于直线x=$\frac{\frac{8π}{3}+\frac{14π}{3}}{2}$=$\frac{11π}{3}$对称,
故有ω•$\frac{11π}{3}$+$\frac{π}{6}$=2kπ,k∈z,可得φ=$\frac{6}{11}$k-$\frac{1}{22}$,k∈z.
根据f(x)在区间($\frac{8π}{3}$,$\frac{14π}{3}$)内有最大值但没有最小值,可得$\frac{14π}{3}$-$\frac{8π}{3}$=2π<T=$\frac{2π}{ω}$,∴0<ω<1.
综合可得,k=$\frac{1}{2}$,f(x)=2cos($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$).
在区间[0,2π]上,$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$π],故f(x)在区间[0,2π]上不是单调递减的,故p1不对.
由f(x)=2cos($\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$),可得函数f(x)的最小正周期是$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π,故p2正确.
当x=$\frac{π}{2}$时,f(x)=2cos$\frac{5π}{12}$,不是最值,故f(x)的图象不关于直线x=$\frac{π}{2}$对称,故p3不对.
当x=-$\frac{4π}{3}$时,f(x)=2cos(-$\frac{π}{2}$)=0,故f(x)的图象关于点(-$\frac{4π}{3}$,0)对称,故p4正确.
故答案为:p2、p4.
点评 本题主要考查余弦函数的图象特征,余弦函数的单调性、周期性、以及它的图象的对称性,属于中档题.
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{9}{13}$ | C. | $\frac{13}{9}$ | D. | 3 |