题目内容

已知函数f(x)=x3-x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.
(1)若存在x<0,使得f′(x)=-9,求a的最大值;
(2)当a>0时,求函数f(x)的极值.
f(x)=x3-x2+bx+a,f′(x)=x2-(a+1)x+b
由f′(0)=0得b=0,f′(x)
=x(x-a-1).
(1)存在x<0,使得f′(x)
=x(x-a-1)=-9,
-a-1=-x-=(-x)+≥2=6,
∴a≤-7,
当且仅当x=-3时,a=-7.所以a的最大值为-7.
(2)当a>0时,x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,
a+1)
a+1
(a+1,
+∞)
f′(x)

0

0

f(x)
?
极大值
?
极小值
?
f(x)的极大值f(0)=a>0,
f(x)的极小值f(a+1)
=a-(a+1)3
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