Question

14．已知函数f（x）=-x+log₂$\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由对数函数的定义域，可得$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解不等式即可得到所求定义域；
（2）运用单调性的性质可得f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上递减，计算即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}$＞0，可得-1＜x＜1，
即有f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）由y=-x在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上递减，
y=log₂$\frac{1-x}{1+x}$=log₂（$\frac{2}{x+1}$-1）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上递减，
可得f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上递减，
则x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值，
且为$\frac{1}{2}$+log₂$\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$+log₂3．

点评 本题考查函数的定义域的求法和最值的求法，考查函数的单调性的运用和分式不等式的解法，属于中档题．