题目内容
4.己知函数f(x)=loga(3x+1),g(x)=loga(1-3x),(a>0且a≠1).(1)求函数F(x)=f(x)-g(x)的定义域;
(2)判断F(x)=f(x)-g(x)的奇偶性,并说明理由4;
(3)确定x为何值时,有f(x)-g(x)>0.
分析 (1)由真数大于零即可列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{3x+1>0}\\{1-3x>0}\end{array}\right.$,解出即可;
(2)由F(-x)=loga(-3x+1)-loga(1+3x)=-F(x),再结合定义域即能得出答案.
(3)不等式f(x)-g(x)>0转化为loga(3x+1)>loga(1-3x),然后分当a>1时和0<a<1两种情况进行讨论,利用对数函数的单调性列出方程组即得答案.
解答 解:(1)F(x)=f(x)-g(x)=loga(3x+1)-loga(1-3x),
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+1>0}\\{1-3x>0}\end{array}\right.$,解得$-\frac{1}{3}<x<\frac{1}{3}$.
∴F(x)=f(x)-g(x)的定义域是(-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$).
(2)由(1)知F(x)定义域关于原点对称,
∵F(x)=loga(3x+1)-loga(1-3x),
F(-x)=loga(-3x+1)-loga(1+3x)=-F(x).
∴F(x)=f(x)-g(x)是奇函数.
(3)∵f(x)-g(x)>0,
∴f(x)>g(x),
即 loga(3x+1)>loga(1-3x),
①当a>1时,$\left\{\begin{array}{l}{3x+1>1-3x}\\{-\frac{1}{3}<x<\frac{1}{3}}\end{array}\right.$,解得 0<x<$\frac{1}{3}$.
②当0<a<1时,$\left\{\begin{array}{l}{3x+1<1-3x}\\{-\frac{1}{3}<x<\frac{1}{3}}\end{array}\right.$,解得-$\frac{1}{3}<x<0$.
综上所述:当a>1时,f(x)-g(x)>0的解是0<x<$\frac{1}{3}$.
当0<a<1时,f(x)-g(x)>0的解是-$\frac{1}{3}<x<0$.
点评 本题考查了对数函数的定义域,单调性及奇偶性的判断和分情况讨论思想.属于基础题.
A. | $[0,\frac{{\sqrt{5}}}{5}]$ | B. | $[\frac{{\sqrt{5}}}{5},1]$ | C. | $[\frac{{\sqrt{10}}}{5},1]$ | D. | $[\frac{{\sqrt{15}}}{5},1]$ |