题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率
，且椭圆过点
.
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设直线
与交于
，
两点，点
在上，
是坐标原点，若
，判断四边形
的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】
（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组求解椭圆的方程；（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断.
解：（1）因为椭圆
的离心率
，所以
，即
.
因为点
在椭圆上，所以
.
由
，
解得
.
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
或
，此时四边形
的面积为
.
当直线的斜率存在时，设直线的方程是
，
联立方程组
，消去
，得
，
，
，
，
.
，
点
到直线的距离是
.
由
，得
，
.
因为点
在曲线上，所以有
，整理得
.
由题意，四边形为平行四边形，所以四边形的面积为
.
由，得
，故四边形的面积是定值，其定值为.
练习册系列答案
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【题目】某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个送外卖小哥某天从9:00到21:00这个时间段送的50单外卖.以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图.
时间区间 |
|
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|
|
每单收入（元） | 6 | 5.5 | 6 | 6.4 | 5.5 | 6.5 |
（Ⅰ）求频率分布直方图中
的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入；
（Ⅱ）在这个外卖小哥送出的50单外卖中男性订了25单，且男性订的外卖中有20单带饮品，女性订的外卖中有10单带饮品，请完成下面的
列联表，并回答是否有
的把握认为“带饮品和男女性别有关”？
带饮品 | 不带饮品 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
