题目内容
【题目】[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
中,以
为极点，
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
；直线
的参数方程为
(t为参数）.直线与曲线分别交于
两点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点
的极坐标为
，
，求
的值.
【答案】（1）曲线
的直角坐标方程为：
， 直线
的普通方程为
.
（2）
【解析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以
利用
即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
（1）由
，得
，
所以曲线的直角坐标方程为
，
即， 直线的普通方程为.
(2)将直线的参数方程
代入并化简、整理，
得
. 因为直线与曲线交于
，
两点。
所以
，解得
.
由根与系数的关系，得
，
.
因为点
的直角坐标为
，在直线上.所以
，
解得，此时满足
.且，故.．
【题目】经观测，某昆虫的产卵数
与温度
有关，现将收集到的温度
和产卵数
的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表．
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275 | 731.1 | 21.7 | 150 | 2368.36 | 30 |
表中
，
（1）根据散点图判断，
，
与
哪一个适宜作为与之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据．
①试求关于回归方程；
②已知用人工培养该昆虫的成本
与温度和产卵数的关系为
，当温度（取整数）为何值时，培养成本的预报值最小？
附：对于一组数据
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
．
【题目】某水果经销商为了对一批刚上市水果进行合理定价，将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
试销单价 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
日销售量 | 168 | 146 | 120 | 90 | 56 |
（1）已知变量
具有线性相关关系，求该水果日销售量
（公斤）关于试销单价
（元/公斤）的线性回归方程，并据此分析销售单价
时，日销售量的变化情况；
（2）若该水果进价为每公斤
元，预计在今后的销售中，日销售量和售价仍然服从（1）中的线性相关关系，该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的售价
应定为多少元？
（参考数据及公式：
，
，
，线性回归方程
，
，
）
【题目】2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元．适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：
经济损失 4000元以下 | 经济损失 4000元以上 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有
以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8：30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，李师傅比张师傅早到小区的天数的数学期望.
附：临界值表
参考公式： 
.
