题目内容
【题目】记无穷数列的前
项中最大值为
,最小值为
,令
.
(1)若,写出
,
,
,
的值;
(2)设,若
,求
的值及
时数列
的前
项和
;
(3)求证:“数列是等差数列”的充要条件是“数列
是等差数列”.
【答案】(1),(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)分别计算出,
,
,
结合题意即可得b1,b2,b3,b4的值;
(2)由新定义,可得λ>0,考虑三种情况求得λ,检验可得所求λ;进而得到bn,由数列的分组求和,可得所求和;
(3)充分性易证,无论d为何值,始终有bn,即可证得结果,必要性须分类证明.
解:(1) 因为,所以
,
所以,
(2),
当时,
,无解;
当时,
,无解;
当时,
,解得
;
当时,
无解,
此时,
当时,
,
所以当时
递增,
,
所以当时,
(3)必要性:数列是等差数列,设其公差为
.
当时
是递增数列;当
时
是常数列;当
时,
是递减数列;
都有,
所以数列是等差数列.
充分性:数列是等差数列,设其公差为
则,
由题意知,,
当时,
对任意
都成立,
即,所以
是递增数列,
,
所以是公差为
的等差数列,
当时,
,进而
所以是递减数列,
,
,
所以是公差为
的等差数列
当时,
,
因为与
中至少有一个为
,所以二者都为
,
进而得为常数列,
综上,充分性成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目