题目内容
【题目】设不等式﹣2<|x﹣1|﹣|x+2|<0的解集为M,a、b∈M,
(1)证明:| a+
b|<
;
(2)比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小,并说明理由.
【答案】
(1)证明:记f(x)=|x﹣1|﹣|x+2|= ,
由﹣2<﹣2x﹣1<0解得﹣ <x<
,则M=(﹣
,
).
∵a、b∈M,∴ ,
所以| a+
b|≤
|a|+
|b|<
×
+
×
=
(2)解:由(1)得a2< ,b2<
.
因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=(1﹣8ab+16a2b2)﹣4(a2﹣2ab+b2)
=(4a2﹣1)(4b2﹣1)>0,
所以|1﹣4ab|2>4|a﹣b|2,故|1﹣4ab|>2|a﹣b|.
【解析】(1)利用绝对值不等式的解法求出集合M,利用绝对值三角不等式直接证明:| a+
b|<
;(2)利用(1)的结果,说明ab的范围,比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小,即可得到结果.
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号,以及对不等式的证明的理解,了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有:比较法(作差,作商法)、综合法、分析法;其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等.
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