Question

【题目】设函数 .

（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；

（2）设函数，若对任意的，都有 ，求的取值范围；

（3）设，点是函数与的一个交点，且函数与在点处的切线互相垂直，求证：存在唯一的满足题意，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）函数单调递增得，即对恒成立，根据函数恒成立求出m的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，问题转化为mlnπ+cosπ≥0，求出m的范围即可；
（3）分别求出msinx0=x0，mlnx0=cosx0，联立消去m，得x0lnx0-sinx0cosx0=0，根据函数的单调性证明即可．

试题解析：

（1）由题意，知，所以，

由题意， ，即对恒成立，

又当时， ，所以.

（2）因为，所以，

①当时，因为，所以，，故，不合题意；

②当时，因为，所以，故上单调递增；

欲对任意的都成立，则需，所以，

解得，综上所述， 的取值范围是.

（3）证明：因为，且函数与 在点处的切线垂直，

所以，即，

又点是函数与的一个交点，所以，

消去，得，

①当时，因为，所以，且，此与上式矛盾，

所以上没有适合题意.

②当时，设，

则，即函数在上单调递增，

所以函数在上至多有一个零点，

因为，

且的图象在上不间断，所以函数在有唯一的零点，

即只有唯一的，使得成立，且，

综上所述，存在唯一的，且.