题目内容
【题目】如下图，已知点
是离心率为
的椭圆
： 
上的一点，斜率为
的直线
交椭圆
于
、
两点，且
、
、
三点互不重合．
（1）求椭圆
的方程；
（2）求证：直线
， 
的斜率之和为定值．
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据离心率为
可得
，把
代入方程可得
，又
，解方程组即可求得方程；（2）设直线
的方程为
，整理方程组
，求得
， 
及参数
的范围，由斜率公式表示出
，结合直线方程和韦达定理整理即可得到定值.
试题解析：（1）由题意，可得
，代入
得
，又
，解得
，
， 
所以椭圆
的方程为
．
（2）证明：设直线
的方程为
，又
， 
， 
三点不重合，∴
，
设
， 
，
由得
，
所以
，解得
，
，①
，②
设直线
， 
的斜率分别为
， 
，
则
（
），
分别将①②式代入（
），
得
，
所以
，即直线
， 
的斜率之和为定值
．
【题目】设函数
.
（1）若函数
在
上单调递增，求
的取值范围；
（2）设函数
，若对任意的
，都有
，求
的取值范围；
（3）设
，点
是函数
与
的一个交点，且函数
与
在点
处的切线互相垂直，求证：存在唯一的
满足题意，且
.
【题目】“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步数 性别 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附： 
（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的 积极型 懈怠型 总计 男 女 总计 （2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有
列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
人，超过10000步的有
人，设
，求
的分布列及数学期望.
