题目内容
【题目】已知函数f(x)＝(2－a)lnx＋
＋2ax.
(1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；
(2)若对任意的a∈(－3，－2)，x1，x2∈[1,3]，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>|f(x1)－f(x2)|成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)见解析(2) (－∞，－ 
]．
【解析】试题分析：（1）对原函数求导，f′(x)＝
，分a＝－2，－2<a<0，a<－2，三种情况讨论导函数的正负，得原函数的单调性；（2）根据第一问知道当a∈(－3，－2)时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，故得到f(x)max＝f(1)＝1＋2a，f(x)min＝f(3)＝(2－a)ln 3＋
＋6a，问题等价于am>
－4a，m<
－4，m≤(
－4)min。
解析：
(1)求导可得f′(x)＝
－
＋2a＝
，
令f′(x)＝0，得x1＝
，x2＝－
，
当a＝－2时，f′(x)≤0，函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递减；
当－2<a<0时，在区间(0， 
)，(－
，＋∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(
，－ 
)上f′(x)>0，f(x)单调递增；
当a<－2时，在区间(0，－ 
)，(
，＋∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(－
， 
)上f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)由(1)知当a∈(－3，－2)时，函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，
所以当x∈[1,3]时，f(x)max＝f(1)＝1＋2a，f(x)min＝f(3)＝(2－a)ln 3＋
＋6a.
问题等价于：对任意的a∈(－3，－2)，恒有(m＋ln 3)a－2ln 3>1＋2a－(2－a)ln 3－
－6a成立，即am>
－4a，
因为a<0，所以m<
－4，
因为a∈(－3，－2)，
所以只需m≤(
－4)min，
所以实数m的取值范围为(－∞，－ 
]．
