Question

【题目】已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：

①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；

②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；

③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；

④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.

其中真命题有___________________（写出所有真命题的序号）.

Answer 1

【答案】①④

【解析】对于①，因为f '（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正确

对于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，当x1，x2＜4时n＜0，②错误

对于③，令f '（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a

记h（x）＝2xln2－2x，则h'（x）＝2x（ln2）2－2

存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函数h（x）先减后增，有最小值.

因此，对任意的a，m＝n不一定成立.③错误

对于④，由f '（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a

令h（x）＝2xln2＋2x，则h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，

即h（x）是单调递增函数，

当x→＋∞时，h（x）→＋∞

当x→－∞时，h（x）→－∞

因此对任意的a，存在y＝a与函数h（x）有交点.④正确