题目内容
【题目】如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD,四边形ABEF是矩形,将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M为AF1的中点,如图2.
(1)求证:BE1⊥DC;
(2)求证:DM∥平面BCE1;
(3)判断直线CD与ME1的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.(3)相交,理由详见解析
【解析】试题分析:(1)由面面垂直性质定理得BE1⊥平面ABCD,即得BE1⊥DC;(2)根据AM∥BE1,AD∥BC,可根据线面平行判定定理得线面平行,再根据面面平行判定定理得面面平行,即得结论(3)取BC的中点P,CE1的中点Q,易得MQ∥CD,因此相交
试题解析:(1)证明 因为四边形ABE1F1为矩形,
所以BE1⊥AB.
因为平面ABCD⊥平面ABE1F1,
且平面ABCD∩平面ABE1F1=AB,
BE1平面ABE1F1,
所以BE1⊥平面ABCD.
因为DC平面ABCD,
所以BE1⊥DC.
(2)证明 因为四边形ABE1F1为矩形,
所以AM∥BE1.
因为AD∥BC,AD∩AM=A,BC∩BE1=B,
AD平面ADM,AM平面ADM,
BC平面BCE1,BE1平面BCE1,
所以平面ADM∥平面BCE1.
因为DM平面ADM,
所以DM∥平面BCE1.
(3)解 直线CD与ME1相交,理由如下:
取BC的中点P,CE1的中点Q,连接AP,PQ,QM,
所以PQ∥BE1,且PQ=BE1.
在矩形ABE1F1中,M为AF1的中点,
所以AM∥BE1,且AM=BE1,
所以PQ∥AM,且PQ=AM.
所以四边形APQM为平行四边形,
所以MQ∥AP,MQ=AP.
因为四边形ABCD为梯形,P为BC的中点,BC=2AD,
所以AD∥PC,AD=PC,
所以四边形ADCP为平行四边形.
所以CD∥AP且CD=AP.
所以CD∥MQ且CD=MQ.
所以四边形CDMQ是平行四边形.
所以DM∥CQ,即DM∥CE1.
因为DM≠CE1,
所以四边形DME1C是以DM,CE1为底边的梯形,
所以直线CD与ME1相交.
点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】设函数 .
(1)若函数在
上单调递增,求
的取值范围;
(2)设函数,若对任意的
,都有
,求
的取值范围;
(3)设,点
是函数
与
的一个交点,且函数
与
在点
处的切线互相垂直,求证:存在唯一的
满足题意,且
.
【题目】“微信运动”已成为当下热门的运动方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数 性别 | 0-2000 | 2001-5000 | 5001-8000 | 8001-10000 | >10000 |
男 | 1 | 2 | 3 | 6 | 8 |
女 | 0 | 2 | 10 | 6 | 2 |
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
附:
(1)已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 懈怠型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布,现从小王的所有微信好友中任选2人,其中每日走路不超过5000步的有人,超过10000步的有
人,设
,求
的分布列及数学期望.