Question

【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：

（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.635	10.828

K2= ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，
由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），
则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，
故P（B）的估计值0.62，
新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，
故P（C）的估计值为，
则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；
∴A发生的概率为0.4092；
（Ⅱ）2×2列联表：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg	总计
旧养殖法	62	38	100
新养殖法	34	66	100
总计	96	104	200

则K2= ≈15.705，
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（Ⅲ）由题意可知：方法一： =5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），
=5×10.47，
=52.35（kg）．
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）
方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：
（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，
箱产量低于55kg的直方图面积为：
（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，
故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg），
所以新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．
【解析】（Ⅰ）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；
（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其平均数．
【考点精析】通过灵活运用频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差．在随机抽样中，这种偏差是不可避免的即可以解答此题．