Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在常数k，使得向量 与 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆的方程可写成（x﹣6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）

且斜率为k的直线方程为y=kx+2．

代入圆方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32=0，

整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36=0． ①

直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）=42（﹣8k2﹣6k）＞0，

解得 ，即k的取值范围为 ．

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，

由方程①， ②

又y1+y2=k（x1+x2）+4． ③

而 ．

所以 与 共线等价于（x1+x2）=﹣3（y1+y2），

将②③代入上式，解得 ．

由（1）知 ，故没有符合题意的常数k

【解析】（1）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，（2）A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1+x2的表达式，根据直线方程可求得y1+y2的表达式，进而根据以 与 共线可推知（x1+x2）=﹣3（y1+y2），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题意．
【考点精析】解答此题的关键在于理解向量的共线定理的相关知识，掌握设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．