题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0),且f(x+1)为偶函数,定义:满足f(x)=x的实数x称为函数f(x)的“不动点”,若函数f(x)有且仅有一个不动点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)+kx2在(0,4)上是增函数,求实数k的取值范围;
(3)是否存在区间[m,n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]?若存在,请求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
(1)由题意可得,二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的对称轴为x=-
b
2a
=1,
∴b=-2a,
f(x)=ax2 -2ax.
再根据函数f(x)有且仅有一个不动点,可得ax2 -2ax=x只有一个解,
故△=(2a+1)2-0=0,
∴a=-
1
2
,b=1
∴f(x)=-
1
2
x2+x
(2)∵函数g(x)=f(x)+kx2=(k-
1
2
)x2+x
当k-
1
2
=0,即k=
1
2
时,
g(x)=x在(0,4)上是增函数,满足要求;
当k-
1
2
>0,即k>
1
2
时,
若g(x)=x在(0,4)上是增函数,
1
1-2k
≤0,解得k>
1
2

当k-
1
2
<0,即k<
1
2
时,
若g(x)=x在(0,4)上是增函数,
1
1-2k
≥4,解得
3
8
≤k<
1
2

综上所述,实数k的取值范围为[
3
8
,+∞)
(3)f(x)=-
1
2
x2+x=-
1
2
(x-1)2+
1
2
1
2

∵f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]
∴3n≤
1
2

∴n≤
1
6

故m<n≤
1
6

∴f(x)在区间[m,n]上为增函数
f(m)=2m
f(n)=3n

-
1
2
m2+m=3m
-
1
2
n2+n=3n

即m,n为方程-
1
2
x2+x=3x的两根,
解-
1
2
x2+x=3x得x=-4,或x=0
故m=-4,n=0
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