题目内容
【题目】已知圆上一点
关于直线
的对称点仍在圆
上,直线
截得圆
的弦长为
.
(1)求圆的方程;
(2)设是直线
上的动点,
是圆
的两条切线,
为切点,求四边形
面积的最小值.
【答案】(1);(2)4.
【解析】
(1)根据对称性判断出圆心在直线上,由此设出圆心坐标,利用弦长
列方程,解方程求得圆心坐标,进而求得圆的半径,从而求得圆
的方程.
(2)根据圆的切线的几何性质,判断出四边形面积最小时,
垂直于直线
,根据点到直线的距离公式求得
的最小值,进而求得四边形
面积的最小值.
(1)由于圆上一点
关于直线
的对称点
仍在圆
上,所以圆心在直线
上,设圆心的坐标为
,半径
,依题意直线
截得圆
的弦长
(其中
是圆心
到直线
的距离,即
.)所以
,即
,解得
,所以圆心
,
.所以圆
的方程为
.
(2),而
,所以当
最小时,
最小,从而
最小.
的最小值为圆心
到直线
的距离,即
,此时
,也即
的最小值为
,所以四边形
面积的最小值为
.
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