题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为
.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程及焦点坐标.
（Ⅱ）过椭圆的右焦点作
轴的垂线，交椭圆于
、
两点，过椭圆上不同于点、的任意一点
，作直线
、
分别交轴于
、
两点.证明：点、的横坐标之积为定值.
【答案】(Ⅰ) 标准方程为
，焦点坐标为
.(Ⅱ)证明见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得
，
.则所以椭圆
的标准方程为，焦点坐标为.
（Ⅱ）由题意可知
的方程为：
，
的方程为：
，则
，
.结合椭圆方程计算可得
为定值.
详解：
（Ⅰ）由题知，又因为离心率
，所以
，则
.
所以椭圆的标准方程为，焦点坐标为.
（Ⅱ）
、
两点的横坐标之积为定值，且定值为3.
设点
，
，
.
则的方程为：，①
的方程为：，②
联立①②得，.
所以
，
又因为
，
.
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