[题目]过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为.与抛物线准线的交点为 .点在抛物线准线上的射影为.若的面积为 .( 1 ) 求抛物线的标准方程,( 2 ) 过焦点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点处的切线分别为.且与相交于点.与轴交于点.求证: . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若的面积为 .

（ 1 ）求抛物线的标准方程；

（ 2 ）过焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与相交于点，与轴交于点，求证： .

【答案】(1).

(2)证明见解析.

【解析】分析：（1）由题意可得，则抛物线的标准方程为.

（2）易知直线的斜率存在，设直线，设与抛物线方程联立可得，结合切线方程可得，，则，.

详解：（1）因为，所以到准线的距离即为三角形的中位线的长，所以，

根据抛物线的定义，所以，

，

解得，所以抛物线的标准方程为.

（2）易知直线的斜率存在，设直线，设

联立消去得，得，

，设，

，

得点坐标，

由，得，

所以，即.

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