题目内容
【题目】对任意,给定区间
,设函数
表示实数
与
所属的给定区间内唯一整数之差的绝对值.
(1)当时,求出
的解析式;
时,写出绝对值符号表示的
解析式;
(2)求,
,判断函数
的奇偶性,并证明你的结论;
(3)当时,求方程
的实根.(要求说明理由,
)
【答案】(1),
;
,
;(2)
是偶函数,证明见解析;(3)实根为
.
【解析】
(1)可知区间中唯一整数为
,根据定义可得出函数
在区间
上的解析式,同理可得出函数
在区间
上的解析式;
(2)根据题中定义求得和
的值,可得出
,然后利用函数奇偶性的定义证明函数
为偶函数,即可得出结论;
(3)要求方程的根,即求
的根,对
分
、
、
三种情况讨论,去绝对值符号,即可求得方程
根的个数.
(1)当时,
中唯一整数为
,
由定义知,
.
当时,在
中唯一整数为
,
由定义知,
;
(2),
,
,
,下面判断
是偶函数.
对任何,存在唯一
,使得
,则
,
由可以得出
,
即,
由(1)的结论,,即函数
是偶函数;
(3),即
,其中
.
当时,
,所以方程
没有大于
的实根;
容易验证为方程
的实根.
当时对应的
,方程
变为
,
设,
则,
故当时,函数
为减函数,
,
方程没有满足
的实根;
当时,对应的
,方程
变为
,
设,明显函数
为减函数.
,
,则
,所以,
,
所以方程没有满足
的实根.
综上,若时,方程
有且仅有一个实数根,实根为
.
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