题目内容
【题目】已知椭圆C：
（
）过点
，离心率为
.其左、右焦点分别为
，
，O为坐标原点.直线l：
与以线段
为直径的圆相切，且直线l与椭圆C交于不同的A，B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若满足
，求
面积的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据题意题意列出方程组求解
，即可求得椭圆方程；（2）由直线与椭圆相切用k表示m，联立直线与椭圆方程得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出
，根据向量数量积的坐标表示由
求出k的范围，求出
面积的表达式，利用换元法判断函数单调性求最值即可.
（1）因为椭圆C的离心率为
，所以
，则
，
因为椭圆C过点
，所以
，
，
代入上式可得
，则
，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知以
为直径的圆的方程为
，
又直线l与该圆相切，所以
，即
.
由
得
，
因为直线l与椭圆C交于不同的两点，所以
，
设
，
，
则
，
；
，
，
依题意
，所以
，
，
设
则
，
，，S关于t在
上单调递增，
且
，
，
所以面积的取值范围是.
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