题目内容
2.若f(x)是幂函数且函数图象经过点(2,2),g(x)=$\frac{a}{x}$(a>0).(1)求f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+g(x)在($\sqrt{2}$,+∞)上是单调增函数,求实数a的取值范围.
分析 (1)设幂函数f(x)=xα(α为常数).把点(2,2)代入可得:2=2α,解得α即可得出.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=x+$\frac{a}{x}$(a>0).x∈($\sqrt{2}$,+∞).h′(x)=$\frac{(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})}{{x}^{2}}$,可知:h(x)在($\sqrt{a}$,+∞)上是单调增函数,即可得出.
解答 解:(1)设幂函数f(x)=xα(α为常数).
把点(2,2)代入可得:2=2α,解得α=1,
∴f(x)=x.
(2)h(x)=f(x)+g(x)=x+$\frac{a}{x}$(a>0).x∈($\sqrt{2}$,+∞).
h′(x)=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})}{{x}^{2}}$,
可知:h(x)在($\sqrt{a}$,+∞)上是单调增函数,
已知h(x)在($\sqrt{2}$,+∞)上是单调增函数,
∴0<a≤2.
∴实数a的取值范围是0<a≤2.
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、幂函数的解析式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 1 | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | $\frac{7}{5}$ | D. | 2 |