Question

11．己知全集U=R，集合A={y|y=2^x}，B={x|-1≤x≤3}，C={x|a-1≤x≤2a}．
（1）求（∁_UB）∩A；
（2）若A∩C=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由指数函数值域化简A，求出∁_UB，取交集得答案；
（2）由A∩C=∅，分C=∅和C≠∅讨论求解，当C≠∅时，由集合端点值间的关系列不等式得答案．

解答 解：A={y|y=2^x}={x|x＞0}，B={x|-1≤x≤3}，C={x|a-1≤x≤2a}．
（1）∁_UB={x|x＜-1或x＞3}，则（∁_UB）∩A=（3，+∞）；
（2）A∩C=∅，
若a-1＞2a，即a＜-1，则C=∅，满足A∩C=∅；
若a≥-1，要使A∩C=∅，则2a≤0，a≤0，∴-1≤a≤0．
∴使A∩C=∅的实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，考查指数式值域的求法，是基础题．