Question

12．已知A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的点，点B坐标为（2，1），有$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析 设出点P（x，y）和点A（a，b），由$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，得到这两个坐标的关系，再根据A点在椭圆上，满足椭圆方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程．

解答 解：设点A的坐标（a，b），点P的坐标为（x，y），
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，B（2，1），
∴（x-a，y-b）=2（2-x，1-y），
∴x-a=4-2x，y-b=2-2y，
∴a=3x-4，b=3y-2，
∵A为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的点，∴$\frac{{a}^{2}}{25}$+$\frac{{b}^{2}}{16}$=1，
∴化简得点P的轨迹方程为$\frac{9}{25}$（x-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{9}{16}$（y-$\frac{2}{3}$）²=1．

点评 在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生值得注意的一个知识点．