Question

14．以下四个命题中所有真命题的序号为①③．
①点A（1，2）关于直线y=x-1的对称点的坐标为（3，0）；
②已知正方体的棱长等于2，那么正方体外接球的半径是2$\sqrt{3}$；
③图1所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线A₁C₁与B₁C成60°的角；
④图2所示的正方形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形是矩形．

Answer 1

分析 ①设出对称点的坐标，根据垂直的条件和中点坐标公式，列出方程组，求出实数解即可；
②根据正方体的对角线即为外接球的直径，即可判断；
③由异面直线所成的角的定义，先找（作）平行线，再解三角形，即可求得；
④根据水平放置的平面图形的直观图的画法：平行性质不变，长度是与x轴平行的不变，与y轴平行的是原来的一半．即可画出原图形．

解答 解：①设点A（1，2）关于直线y=x-1的对称点B的坐标为（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（m+1）-1=\frac{1}{2}（n+2）}\\{n-2=-（m-1）}\end{array}\right.$，解得，m=3，n=0，故①正确；
②已知正方体的棱长等于2，那么正方体外接球的直径为2$\sqrt{3}$，故半径是$\sqrt{3}$，即③错；
③正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，可得A₁D∥B₁C，∠C₁A₁D为异面直线A₁C₁与B₁C成的角，在等边△A₁DC₁中，∠C1A₁D=60°，
故异面直线A₁C₁与B₁C成60°的角，即③正确；
④由水平放置的一个平面图形的直观图的画法，得到原图形为平行四边形，如图，故④错．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了点关于直线的对称点的求法、正方体与其外接球的关系，以及空间异面直线所成的角和水平放置的平面图的直观图的画法，掌握这些基础知识是迅速解题的关键，是中档题．