题目内容

10．设点A的坐标为（a，0）（a∈R），则曲线y2=2x上的点到A点的距离的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2a-1}，a≥1}\\{|a|，a＜1}\end{array}\right.$．

分析 根据题意，|PA|2=（x-a）2+y2，讨论a-1≥0和a-1＜0时|PA|的最小值，求出即可．

解答 解：设P（x，y）为y2=2x上任意一点，
则|PA|2=（x-a）2+y2=x2-2ax+a2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x≥0）
①当a≥1时，x=a-1≥0，即a≥1处|PA|min=$\sqrt{2a-1}$；
②当a＜1时，x=0，|PA|min=|a|；
综上，曲线y2=2x上的点到A点距离的最小值为$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2a-1}，a≥1}\\{|a|，a＜1}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2a-1}，a≥1}\\{|a|，a＜1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了抛物线的性质与应用问题，也考查了求函数最小值的应用问题，考查了分类讨论的应用问题，是中档题目．

练习册系列答案
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20．如图，已知抛物线方程y2=2px（p＞0），AB是过焦点F的一条弦，点A（x1，y1），B（x2，y2）．求证：
（1）y1y2=-p2，x1x2=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）|AB|=x1+x2+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$（θ为直线AB的倾斜角）．
1．点（$\sqrt{2}$，2）在幂函数f（x）的图象上，点（-2，$\frac{1}{4}$）在幂函数g（x）的图象上．
（1）判断f（x）与g（x）的奇偶性；
（2）设h（x）=（$\frac{1}{3}$）f（x），是否存在x1∈R，x2∈（0，1]，使h（x1）=g（x2）？若存在，求x1，x2的值；若不存在，说明理由．
18．已知sina-2cosa=0，求sin2a的值．
5．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是（　　）
A．sin1＞sin1.2＞sin1.5B．sin1＞sin1.5＞sin1.2
C．sin1.5＞sin1.2＞sin1D．sin1.2＞sin1＞sin1.5
15．函数f（x）=x2-2x+1（x≥1）的反函数f-1（x）=1+$\sqrt{x}$（x≥0）．
2．若f（x）是幂函数且函数图象经过点（2，2），g（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）+g（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．
19．已知a，b∈R，a2+2b2=1，则a-b的最小值为（　　）
A．-$\sqrt{5}$B．-$\frac{\sqrt{6}}{2}$C．-$\sqrt{6}$D．-$\sqrt{2}$
2．由曲线y=x3与$y=\sqrt{x}$围成的封闭图形的面积是$\frac{5}{12}$．

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