Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y²=24x的准线上，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}-\frac{{y}^{2}}{18}=1$．

Answer 1

分析 由抛物线标准方程易得其准线方程为x=-6，可得双曲线的左焦点为（-6，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程是y=x，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．

解答 解：因为抛物线y²=24x的准线方程为x=-6，所以由题意知，点F（-6，0）是双曲线的左焦点，
所以a²+b²=c²=36，①
又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以a=b，②
由①②解得a²=18，b²=18，
所以双曲线的方程为 $\frac{{x}^{2}}{18}-\frac{{y}^{2}}{18}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{18}-\frac{{y}^{2}}{18}=1$．

点评 本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．