题目内容
【题目】(12分)已知椭圆的离心率为
,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在实数
使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
【解析】
试题本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和长轴长列出方程,解出a和c的值,再利用计算b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,将直线与椭圆联立,消参,利用韦达定理,得到
、
,由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,所以
,即
,代入
和
,解出k的值.
试题解析:(1)设椭圆的焦半距为c,则由题设,得,
解得,所以
,
故所求椭圆C的方程为.
(2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
理由如下:
设点,
,
将直线的方程
代入
,
并整理,得.(*)
则,
.
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,
所以,即
.
又,
于是,解得
,
经检验知:此时(*)式的Δ>0,符合题意.
所以当时,以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
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