题目内容
【题目】设函数 .
(1)用含a的式子表示b;
(2)令F(x)= ,其图象上任意一点P(x0 , y0)处切线的斜率
恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若a=2,试求f(x)在区间 上的最大值.
【答案】
(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),
∵f′(x)= ﹣ax+b,
f′(1)=1﹣a+b=0,
∴b=a+1
(2)解:F(x)=lnx+ ,
∴F′(x)= ﹣
=
∴k=F′(x)= ≤
在(0,3]上恒成立,
∴a≥(﹣ x02+x0)max,x0∈(0,3],
当x0=1时,﹣ x02+x0的取得最大值
,
∴a≥
(3)解:当a=2时,f(x)=lnx﹣x2+x,
∴f′(x)= ﹣2x+1=
,
令f′(x)=0,解得x=1或x=﹣ (舍去),
当0<x<1时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,
当x>1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,
当c+ ≤1,即0<c≤
时,f(x)区间
上单调递增,
∴f(x)max=f(c+ )=ln(c+
)﹣(c+
)2+c+
=ln(c+
)+
﹣c2,
当 .即
<c<1时,f(x)在[c,1]上单调递增,在[1,c+
]上单调递减,
∴f(x)max=f(1)=0,
当c≥1时,f(x)在[c,c+ ]上单调递减,
∴f(x)max=f(c)=lnc﹣c2+c,
综上所述,当0<c≤ 时,f(x)max=ln(c+
)+
﹣c2,
当 <c<1时,f(x)max=0,
当c≥1时,f(x)max=lnc﹣c2+c
【解析】(1)先求导,再代值计算即可得到b=a+1;(2)根据导数的几何意义求出直线的斜率,再根据二次函数的性质求出a的范围;(3)求导,分类讨论,根据导数和函数的最大值得关系即可求出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识,掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】柴静《穹顶之下》的播出,让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识,对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来,某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析,得出下表数据:
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测燃放烟花爆竹的天数为的雾霾天数.
【题目】从某山区养殖场散养的3500头猪中随机抽取5头,测量猪的体长x(cm)和体重y(kg),得如下测量数据:
猪编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
x | 169 | 181 | 166 | 185 | 180 |
y | 95 | 100 | 97 | 103 | 101 |
(1)当且仅当x,y满足:x≥180且y≥100时,该猪为优等品,用上述样本数据估计山区养殖场散养的3500头猪中优等品的数量;
(2)从抽取的上述5头猪中,随机抽取2头中优等品数x的分布列及其数学期望.