题目内容
【题目】已知函数
,
若函数
有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______（填写正确序号）
①.
②.函数
在
处的切线与直线
平行
③.函数
在
上的最大值为
④.函数
在 
上单调递减
【答案】①②④
【解析】
令
，化简为
，化为两个函数
，利用两者只有一个交点，则在这一交点的切线的斜率相等，由此列方程求出
的值.然后对四个命题利用导数进行逐一判断，由此得出正确的结果.
令，化简得，化为两个函数，
，
，由于两个函数只有一个交点，故在交点处有相同的交点坐标以及相同的斜率.即
，（1）式两边乘以
，然后减去（2）式，得
，注意到当
时，等式成立，故，代入（1）求得
.所以①正确.由
，
，当
时，
，而直线
斜率为
，故②正确.对于③，
，其导数
，函数单调递增，故当时有最大值为
，故③错误.对于④，
，其导数
，故函数在
上递减，所以也在
上递减，故④正确.综上所述，正确的有①②④.
练习册系列答案
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x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为
的雾霾天数．
