Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC= AB= ，平面PBC⊥平面ABCD．

（1）求证：AC⊥PB；
（2）若PB=PC= ，问在侧棱PB上是否存在一点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点E，连结CE，

∵AB∥CD，DC= AB，∴DC AE，

∴四边形AECD是平行四边形，

又∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是正方形，∴CE⊥AB，

∴△CAB是等腰三角开有，且CA=CB=2，AB=2 ，

∴AC2+CB2=AB2，∴AC⊥CB，

又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴AC⊥平面PBC，

又PB平面PBC，∴AC⊥PB

（2）解：设BC的中点为F，连结PF，

∵PB=PC，∴PF=BC，

∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥AC，

连结EF，则EF∥AC，∴PF⊥FE，EF⊥BC，

分别以FE、FB、FP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

∵AD=PB=PC= ，则F（0，0，0），A（2，﹣1，0），

B（0，1，0），D（1，﹣2，0），P（0，0，1），

∴ =（0，1，﹣1）， =（﹣1，﹣1，0）， =（0，0，1），

若在线段PB上存在一点M，设 = ，（0≤λ＜1），

∵ ，∴ =λ（0，1，﹣1）+（0，0，1）=（0，λ，1﹣λ），

∴M（0，λ，1﹣λ）， ，

设平面MAD的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1， ），

平面ABCD的法向量 =（0，0，1），

∵二面角M﹣AD﹣B的余弦值为 ，

∴|cos＜ ＞|= = = ，

解得 或λ=2（舍）．

∴存在点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为 ，且 = ．

【解析】（1）取AB的中点E，连结CE，推导出四边形AECD是正方形，从而CE⊥AB，再求出AC⊥CB，由此能证明AC⊥PB．（2）设BC的中点为F，连结PF，分别以FE、FB、FP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【考点精析】利用空间中直线与直线之间的位置关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．