Question

2．已知函数f（x）=a^x+$\frac{x-2}{x+1}$（a＞1）．
（1）求证：f（x）在（-1，+∞）上是增函数；
（2）求证：f（x）=0没有负数根；
（3）若a=3，求方程f（x）=0的根（精确到0.1）．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义进行证明；
（2）根据指数函数和分式函数的性质进行推理证明即可．
（3）利用二分法进行求解即可．

解答 证明：（1）设-1＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=
${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-2}{{x}_{1}+1}$$-\frac{{x}_{2}-2}{{x}_{2}+1}$=${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$+$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax₁＜ax₂，∴${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）假设x₀是方程f（x）=0的负数根，且x₀≠-1，则${a}^{{x}_{0}}$+$\frac{{x}_{0}-2}{{x}_{0}+1}$=0，
即${a}^{{x}_{0}}$=-$\frac{{x}_{0}-2}{{x}_{0}+1}$=$\frac{3}{{x}_{0}+1}$-1，①
当-1＜x₀＜0时，0＜x₀+1＜1，
∴$\frac{3}{{x}_{0}+1}$＞3，
∴$\frac{3}{{x}_{0}+1}$-1＞2，而由a＞1知${a}^{{x}_{0}}$＜1．∴①式不成立；
当x₀＜-1时，x₀+1＜0，∴$\frac{3}{{x}_{0}+1}$＜0，∴$\frac{3}{{x}_{0}+1}$-1＜-1，而${a}^{{x}_{0}}$＞0．
∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．
（3）由（1）知，当a=3时，f（x）=3^x+$\frac{x-2}{x+1}$在（-1，+∞）上为增函数，
故在（0，+∞）上也单调递增，因此f（x）=0的正根仅有一个，
以下用二分法求这一正根，由于f（0）=-1＜0，f（1）=＞0，
∴取（0，1）为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：

区间	中点	中点函数值
（0，1）	0.5	0.732
（0，0.5）	0.25	-0.084
（0.25，0.5）	0.375	0.322
（0.25，0.375）	0.312 5	0.124

由于|0.312 5-0.25|=0.062 5＜0.1，
∴原方程的近似解可取为0.312 5．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，函数单调性的判断，利用定义法是判断函数单调性的基本方法，考查学生的运算能力，综合性较强．