题目内容

12.实数x,y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{y≥x}\\{y≥-x+b}\end{array}\right.$,则z=2x+y的最小值为3,则实数b的值为(  )
A.$\frac{4}{9}$B.-$\frac{4}{9}$C.$\frac{9}{4}$D.-$\frac{9}{4}$

分析 画出不等式组表示的可行域,根据目标函数得出取最优解时点的坐标,再根据分析列出含有参数b的方程组,由最小值求出b的值.

解答 解:根据题意得b>0,
不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≥0}\\{y≥x}\\{y≥-x+b}\end{array}\right.$ 表示的可行域如图所示:
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{b}{3}}\\{y=\frac{2b}{3}}\end{array}\right.$,
∴B($\frac{b}{3}$,$\frac{2b}{3}$);
由图可得,当目标函数过点B时,z=2x+y有最小值;
∴2×$\frac{b}{3}$+$\frac{2b}{3}$=3,
解得b=$\frac{9}{4}$.
故选:C.

点评 本题考查了约束条件中含有参数的线性规划问题,解题时应先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组),代入另一条直线方程,消去x,y后,即可求出参数的值.

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