题目内容
2．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{ax}$（a＞0，c＜0），当x∈[1，3]时，函数f（x）的取值范围恰为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$]．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若向量$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（k2-k+2，3k-1）（k＜0），解关于x的不等式f（x）＜$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
分析 （1）由已知得到函数的单调性，利用自变量与函数值的关系求之；
（2）利用向量的数量积公式得到不等式，然后解之．
解答 解：因为函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+c}{ax}$（a＞0，c＜0），所以此函数在x∈[1，3]为增函数，
又当x∈[1，3]时，函数f（x）的取值范围恰为[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$]．
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+c}{a}=-\frac{3}{2}}\\{\frac{9+c}{3a}=\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
所以f（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{2x}$；
（2）因为向量$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（k2-k+2，3k-1）（k＜0），
所以$\frac{{x}^{2}-4}{2x}＜-\frac{{k}^{2}-k+2}{x}+\frac{3k-1}{2}$，
化简得$\frac{（x-2k）[x-（k-1）]}{2x}＜0$，
所以当k=-1时，不等式的解集为{x|x＜0}；
当-1＜k＜0时，2k＜k-1，不等式的解集为{x|k-1＜x＜0或x＜2k}．
点评 本题考查了函数单调性性质的运用、向量的数量积公式以及不等式的解法．
练习册系列答案
相关题目
3．关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
| A． | 若l∥α，α∩β=m，则l∥m | B． | 若l∥α，m∥α，则l∥m | ||
| C． | 若l⊥α，l∥β，则α⊥β | D． | 若l∥α，l⊥m，则m⊥α |