Question

11．设F为抛物线C：y²=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|=12．

Answer 1

分析 由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和，代入抛物线过焦点的弦长公式得答案．

解答 解：由y²=3x，得2p=3，p=$\frac{3}{2}$，
则F（$\frac{3}{4}$，0），
∴过A，B的直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{4}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=3x}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x-\frac{3}{4}）}\end{array}\right.$，得16x²-168x+9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{168}{16}=\frac{21}{2}$，
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+p=\frac{21}{2}+\frac{3}{2}=12$．
故答案为：12．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．