Question

10．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+$\sqrt{3}（{sin^2}x-{cos^2}x）$，$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，当x=α时，f（x）有最大值．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，A=α-$\frac{π}{12}$，且sinBsinC=sin²A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为f（x）=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），z再利用正弦函数的增区间求得f（x）的增区间．
（2）由题意可得，当2α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）有最大值，求得α的值，可得A的值；在△ABC中，由于a=2，A=α-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{3}$，且sinBsinC=sin²A，由正弦定理可得bc=a²=4，从而求得△ABC的面积$\frac{1}{2}$bc•sinA 的值．

解答 解：（1）函数f（x）=（sinx+cosx）²+$\sqrt{3}（{sin^2}x-{cos^2}x）$=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
故函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈z，
（2）∵$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，可得2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，再根据当x=α时，f（x）有最大值，
可得2α-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，故α=$\frac{5π}{12}$．
在△ABC中，由于a=2，A=α-$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{3}$，且sinBsinC=sin²A=$\frac{3}{4}$，
∴由正弦定理可得bc=a²=4，∴△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间和最值，正弦定理，属于中档题．