题目内容

7.在复平面上,点P(x,y)所对应的复数p=x+yi(i为虚数单位),z=a+bi(a、b∈R)是某给定复数,复数q=p•z所对应的点为Q(x′,y′),我们称点P经过变换z成为了点Q,记作Q=z(P).
(1)给出z=1+2i,且z(P)=Q(8,1),求点P的坐标;
(2)给出z=3+4i,若P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上运动,Q=z(P),求|OQ|的取值范围;
(3)已知P在双曲线x2-y2=1上运动,试问是否存在z,使得Q=z(P)在双曲线y=$\frac{1}{x}$上运动?若存在,请求出z;若不存在,请说明理由.

分析 (1)根据题意,有8+i=(1+2i)•p,从而p=$\frac{(8+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{10-15i}{5}=2-3i$,求得P点坐标
(2))由P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上运动,则|p|=|OP|∈[2,3]又根据|z|=5求得|OQ|.
(3)假设存在,分别求出对应的点,得出两者矛盾,即不存在.

解答 解:(1)根据题意,有8+i=(1+2i)•p
∴p=$\frac{(8+i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{10-15i}{5}=2-3i$,∴点P的坐标为(2,-3)
(2)∵P在椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上运动,∴|p|=|OP|∈[2,3]
又|z|=5,∴|OQ|=|q|=|p$•\\;p$z|∈[10,15]
(3)不存在.
假设存在z=a+bi(a,b∈R),使得Q=z(P)在曲线$y=\frac{1}{x}$上运动.
在直线y=3x+1上取点P1(0,1),所以q1=z•p1=-b+ai,对应的Q1(-b,a)在曲线$y=\frac{1}{x}$上,所以-b=$\frac{1}{a}$,即ab=-1.
再取点P2($-\frac{1}{3},0$),所以${q}_{1}=z•{p}_{1}=-\frac{a}{3}+(-\frac{b}{3})i$,对应的点Q1($-\frac{a}{3},-\frac{b}{3}$)在曲线$y=\frac{1}{x}$上,所以$-\frac{b}{3}=-\frac{a}{3}$
即ab=9.
二者矛盾,所以不存在满足条件的z.

点评 本题主要考查复平面内的新定义题,借助圆锥曲线来考查综合问题,属于中档题,考查考生借助新定义解题的能力.

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