Question

15．（理科）已知数列{a_n}满足：a₁=3，且a_n+1=2a_n-1（n∈N^•）
（1）求数列{a_n}的通项公式  
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$（n∈N^•），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=2a_n-1（n∈N^•）变形可知数列{a_n-1}是以首项、公比均为2的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过a_n=2ⁿ+1可知b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^•），进而利用等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n-1（n∈N^•），
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
又∵a₁-1=3-1=2，
∴a_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ+1；
（2）∵a_n=2ⁿ+1，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=$\frac{1}{{（2}^{n+1}+1）-（{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^•），
∴数列{b_n}是以首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．