题目内容
【题目】已知椭圆中,
是椭圆的左、右焦点,过
作直线
交椭圆于
两点,若
的周长为8,离心率为
.
(1)求椭圆方程;
(2)若弦的斜率不为0,且它的中垂线与
轴交于
,求
的纵坐标的范围;
(3)是否在轴上存在点
,使得
轴平分
?若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的性质可知: 及
,即可求得
和
的值,即可求得椭圆的方程;(2)当
不存在时,
为原点,
,当
存在时,将直线方程代入椭圆方程,求得关于
的一元二次方程,利用韦达定理求得
及
,根据中点坐标公式,求得点
点 坐标,求得直线
方程,令
,即可求得
的纵坐标的范围;(3)假设存在
,由
轴平分
可得,
,由(2)可知,代入即可求得
的值.
试题解析:(1)依题意得,解得
,所以方程为
,
当不存在时,
为原点.
,当
存在时,由
,
则,(*)
设弦的中点为
,则
,
则,令x=0,有
,
综上所述,Q的纵坐标的范围为,
(2)存在m=4.假设存在m,由x轴平分可得,
即,
有,将(*)式代入有
,解得
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