题目内容

【题目】已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)若对于任意 都有f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,求实数k的取值范围.

【答案】
(1)解:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0 =0,解得b=1,

f(x)= ,又由f(1)=﹣f(﹣1) ,解得a=2


(2)证明:由(1)可得:f(x)= =

x1<x2,∴ >0,

则f(x1)﹣f(x2)= = >0,

∴f(x1)>f(x2).

∴f(x)在R上是减函数


(3)解:∵函数f(x)是奇函数.

∴f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,等价于f(kx2)>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x)成立,

∵f(x)在R上是减函数,∴kx2<1﹣2x,

∴对于任意 都有kx2<1﹣2x成立,

∴对于任意 都有k<

设g(x)=

∴g(x)= =

令t= ,t∈[ ,2],

则有 ,∴g(x)min=g(t)min=g(1)=﹣1

∴k<﹣1,即k的取值范围为(﹣∞,﹣1)


【解析】(1)直接根据函数是奇函数,满足f(﹣x)=﹣f(x),把x=0,和x=1代入,即可得到关于a,b的两个等式,解方程组求出a,b的值(2)利用减函数的定义即可证明.(3)f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,等价于f(kx2)>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x),即k< 成立,设g(x)=
换元使之成为二次函数,再求最小值.

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