Question

【题目】已知函数

求证：（1）

（2）对,若，=1，求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用函数的单调性结合函数的定义域即可证得结论；

(2)结合题意利用数学归纳法证明结论即可.

试题解析：

⑴x>0时，=x 0,f(x)单调增，f(x) f(0)=0

⑵① =, x1=1 >1,>0对任意n成立；

又⑴知f()0 -1<,从而<,,数列{}单调减，

②下面用数学归纳法证明

当n=1时，=1>,命题成立

假设n=k时，命题成立，即

要证>,只要证明，只要证明>

设g(x)=,==->0在x>0上成立，

故g(x)在x>0上单调增，，g()=>g(),

只要证明g()=>=,设≥=t>0，

只要证明，只要证明-1>t

设-1-t=h(t),t>0,=>0在t>0时恒成立，

h(t)单调增，h(t)>h(0)=0, -1>t成立。从而对n=k+1，不等式仍然成立

总之，成立