题目内容
【题目】已知函数(
为自然对数的底数)
(Ⅰ)试讨论函数的零点个数;
(Ⅱ)证明:当且
时,总有
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】试题分析:(1)先求函数导数,根据导函数零点确定函数单调性:先增后减再增,结合图像可知零点个数按两极值正负分情况进行讨论,(2)先研究差函数
,根据导数可得
,导函数的导数
,因此
,从而
,得证.
试题解析:解:(Ⅰ) 零点个数即为方程
的根的个数.
记,则
,令
得
或
.
当变化时,
的变化情况如下表:
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
故可画出的草图如图所示:
由图象知:当或
时,函数
有一个零点;
当或
时,函数
有两个零点;
当时,函数
有三个零点.
(Ⅱ),设函数
,
则,
记,则
,
当变化时,
的变化情况如下表:
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
由上表可知,而
,
由知,
.
所以,所以
,即
,所以
在区间
上为增函数,
所以当时,
.
即当且
时,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试,测试的方案:电脑模拟驾驶,以某速度匀速行驶,记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离),无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表
停车距离 | |||||
频数 | 26 | 8 | 2 |
表
平均每毫升血液酒精含量 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 | /tr>
平均停车距离 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表 数据的中位数估计值为
,回答以下问题.
(Ⅰ)求的值,并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数;
(Ⅱ)根据最小二乘法,由表的数据计算
关于
的回归方程
;
(Ⅲ)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”大于(Ⅰ)中无酒状态下的停车距离平均数的
倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?
(附:回归方程中,
)