题目内容
【题目】在四棱锥
中， 
， 
， 
和
都是边长为2的等边三角形，设
在底面
的射影为
．
（1）证明： 
；
（2）求二面角
的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先由线面垂直性质定理得
,再根据平几知识得
,最后根据线面垂直判定定理得
，即得
（2）先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组求各面法向量,再利用向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角之间关系求二面角
试题解析：（1）证明：∵
和
都是边长为2的等边三角形，
∴
所以
为
中点，∵
∴
,由
可得四边形
为平行四边形， 
∥
∴
又∵
又
∴
， 
∴
（2）以点
为原点，以
所在射线分别为
轴 ，
轴，
轴建系如图，
∵
，则
，
，
，
，
，可求
,
，
，
，
，
设面
的法向量为
，则
，
，得
，
，
取
，得
，
，
故
.
设面
的法向量为
，则
，
，得
，
，
取
，则
，故
，
于是
，
由图观察知
为钝二面角，
所以该二面角的余弦值为
.
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