题目内容
【题目】已知函数f(x)＝x(1－
)是R上的偶函数．
(1)对任意的x∈[1,2]，不等式m·
≥2x＋1恒成立，求实数m的取值范围．
(2)令g(x)＝1－
，设函数F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零点，求实数n的取值范围．
【答案】（1）实数m的取值范围为[3，＋∞).（2）实数n的取值范围是(2，＋∞).
【解析】试题分析：（1）先根据偶函数得a＝2，再分离变量得m≥2x－1最大值，即得实数m的取值范围（2）根据函数单调性化简方程F(x)＝0得n＝4x－2x＋1＋3，再根据二次函数值域求实数n的取值范围．
试题解析：(1)∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)·(1－
)＝x·(1－
)．
∴x·(2－a)＝0，由于x不恒为0，∴a＝2.3分
故f(x)＝x(1－
)＝x·
.
又x∈[1,2]，∴2x－1＞0,2x＋1＞0，
∴不等式m·
≥2x＋1恒成立，等价于m≥2x－1恒成立．
又x∈[1,2]，∴2x－1∈[1,3]，∴当m≥3时，不等式m≥2x－1恒成立，
∴实数m的取值范围为[3，＋∞).
(2)函数F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零点，等价于方程g(4x－n)－g(2x＋1－3)＝0有实数根．由(1)知f(x)＝x(1－)，
∴g(x)＝1－
＝ (x≠0)．
由2x＋1是增函数，∴g(x)是减函数.9分
∴4x－n＝2x＋1－3，
∴n＝4x－2x＋1＋3.
∵4x－2x＋1＋3
＝(2x)2－2·2x＋3
＝(2x－1)2＋2，
又x≠0，∴(2x－1)2＋2>2.
故实数n的取值范围是(2，＋∞).
练习册系列答案
相关题目
