Question

【题目】已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0）．在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．

（1）求证：|q|＞1；

（2）若a＝1，n＝1，求d的值；

（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，且s，t都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用a，c，n表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．（3）当n＝4k﹣2（k∈N*）时，积为；当n＝4k（k∈N*）时，积为．

【解析】

（1）先由条件求出知，又有c＝a+2d代入即可得|qn+2|＞1，就可证明结论；

（2）先求出b＝1+d，c＝1+2d，然后对插入的数分所在位置所存在的两种情况分别求出d的值即可；

（3）先由条件求得|q|s+1＞|q|t+1s＞t．然后再对q所存在的可为正数，也可为负数两种情况分别求出插入的n个数的乘积即可．

（1）由题意知，c＝a+2d，

又a＞0，d＞0，可得，

即|qn+2|＞1，故|q|n+2＞1，又n+2是正数，故|q|＞1．

（2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b＝1+d，c＝1+2d，

若插入的这一个数位于a，b之间，则1+d＝q2，1+2d＝q3，

消去q可得（1+2d）2＝（1+d）3，即d3﹣d2﹣d＝0，其正根为．

若插入的这一个数位于b，c之间，则1+d＝q，1+2d＝q3，

消去q可得1+2d＝（1+d）3，即d3+3d2+d＝0，此方程无正根．

故所求公差．

（3）由题意得，，又a＞0，d＞0，

故，可得，又，

故qs+1＞qt+1＞0，即|q|s+1＞|q|t+1．

又|q|＞1，故有s+1＞t+1，即s＞t．

设n+3个数所构成的等比数列为an，则，

由akan+4﹣k＝a1an+3＝ac（k＝2，3，4，n+2），

可得（a2a3an+2）2＝（a2an+2）（a3an+1）（an+1a3）（an+2a2）＝（ac）n+1，

又，，

由s，t都为奇数，则q既可为正数，也可为负数，

①若q为正数，则a2a3an+2，插入n个数的乘积为；

②若q为负数，a2，a3，an+2中共有个负数，

故a2a3，所插入的数的乘积为．

所以当n＝4k﹣2（k∈N*）时，所插入n个数的积为；

当n＝4k（k∈N*）时，所插入n个数的积为．