题目内容
【题目】已知数列
中，
，前n项和为
，且
.
（1）求
；
（2）证明数列为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设
，试问是否存在正整数p，q（其中
），使
成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析；
（3）存在唯一正整数数对
，
，
，使
，
，
成等比数列；详见解析
【解析】
（1）令
，即可求
；
（2）根据等差数列的等差中项法即可证明数列
为等差数列，并写出其通项公式；
（3）根据等比数列的定义和通项公式，分类讨论
，通过数列的单调性求出数列最值，结合题意判断求解，即可得到结论．
（1）令，则
.
（2）由
，即
，①
得
.②
②-①，得
.③
于是，
.④
③+④，得
，即
.
又，
，
，
所以，数列
是以0为首项，1为公差的等差数列.
所以，.
（3）假设存在正整数数组
（其中
），使
成等比数列，
则
成等差数列，于是
.
时，
，故数列
为递减数列，
时，
，故数列
为递减数列，
，
，即
时，.
又当
时，
，故无正整数q使得成立.
综上得，存在唯一正整数数对，，，使，，成等比数列.
【题目】某县共有户籍人口60万，经统计，该县60岁及以上、百岁以下的人口占比
，百岁及以上老人15人.现从该县60岁及以上、百岁以下的老人中随机抽取230人，得到如下频数分布表：
年龄段（岁） |
|
|
|
|
人数（人） | 125 | 75 | 25 | 5 |
（1）从样本中70岁及以上老人中，采用分层抽样的方法抽取21人，进一步了解他们的生活状况，则80岁及以上老人应抽多少人？
（2）从（1）中所抽取的80岁及以上老人中，再随机抽取2人，求抽到90岁及以上老人的概率；
（3）该县按省委办公厅、省人民政府办公厅《关于加强新时期老年人优待服务工作的意见》精神，制定如下老年人生活补贴措施，由省、市、县三级财政分级拨款：
①本县户籍60岁及以上居民，按城乡居民养老保险实施办法每月领取55元基本养老金；
②本县户籍80岁及以上老年人额外享受高龄老人生活补贴；
（a）百岁及以上老年人，每人每月发放345元的生活补贴；
（b）90岁及以上、百岁以下老年人，每人每月发放200元的生活补贴；
（c）80岁及以上、90岁以下老年人，每人每月发放100元的生活补贴.
试估计政府执行此项补贴措施的年度预算.
