Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍且经过点M
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）过圆上的任一点作圆的一条切线交椭圆C与A、B两点
①求证：
②求|AB|的取值范围

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴长为，短轴长为，则由题意可得：
，所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）①当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为
或满足
当切线斜率存在时，可设的方程为.解方程组得,即, .   
则△=,即
,



②由①可知：



当时
因为所以,
所以,
所以当且仅当时取”=”
当时,.
当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:

略